• Формулы
  • тригонометрии
  • интегрального исчисления
  • функции нескольких переменных
• Таблицы
  • производных
  • интегралов
  • эквивалентных бесконечно малых
  • значений тригонометрических функций
  • значений t(γ, n)
• Свойства
  • тригонометрических функций
  • логарифмов
  • производных
  • интегралов
• Алгоритмы
  • интегрирования
  • дифференцирования
  • решения задач через производную
  • нахождения наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной

Алгоритмы интегрирования

Внимание!!! Для просмотра страницы необходимо установить математические шрифты, плагин для Internet Explorer (если просмотр осуществляется в этом браузере) и один из браузеров Mozilla / Firefox / Netscape (если просмотр осуществляется в браузере, не упомянутом выше).
Справочник по интегральному исчислению можно скачать в библиотеке.

Алгоритм интегрирования рациональной дроби вида `{F_m(x)}/{Q_n(x)}

1. Если дробь неправильная `(m>=n)`, то выделить целую часть.
2. Разложить знаменатель `Q_n(x)` на простые множители:

`Q_n(x)=(x-x_1)^{k_1}*(x-x_2)^{k_2}*...*(x^2+px+q)^{k_3}`,
где `D={p^2}/4-q < 0`

3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей:

`{f(x)}/{(x-x_1)^{k_1}*(x-x_2)^{k_2}*...*(x^2+px+q)^{k_3}}={A_1}/{x-x_1}+`
`+{A_2}/{(x-x_1)^2}+...+{A_{k_1}}/{(x-x_1)^{k_1}}+{B_1}/{x-x_2}+{B_2}/{(x-x_2)^2}+...+`
`+{B_{k_2}}/{(x-x_2)^{k_2}}+...+{C_1x+D_1}/{x^2+px+q}+{C_2x+D_2}/{(x^2+px+q)^2}+...+`
`+{C_{k_3}x+D_{k_3}}/{(x^2+px+q)^{k_3}}` (*).

4. Привести правую часть равенства (*) к общему знаменателю и уравнять числители левой и полученной правой частей.

5. Найти коэффициенты `A_i, B_j, C_n, D_n`, где `i=1,...,k_1, j=1,...,k_2, n=1,...,k_3`, применив к целому выражению:
а) метод частных значений (`x=x_1, x=x_2,...`);
б) метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях, основанный на определении равенства многочленов.

6. Проинтегрировать простейшие дроби.