Теоремы, утверждения и определения из планиметрии

1

Сумма углов треугольника равна двум прямым углам, т.е. `/_A+/_B+/_C=180°`

2

Длина каждой стороны меньше суммы и больше разности длин двух других сторон (например, `clta+b, c>|a-b|`)

3

Теорема косинусов: `a^2=b^2+c^2-2bc*cosA`

4

Для определения вида треугольника можно сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон. Пусть, например, `c` - наибольшая сторона. Тогда:
а) если `c^2lta^2+b^2`, то треугольник остроугольный;
б) если `c^2=a^2+b^2`, то треугольник прямоугольный;
в) если `c^2>a^2+b^2`, то треугольник тупоугольный

5

Теорема синусов: `a/{sinA}=b/{sinB}=c/{sinC}=2R`, где `R` - радиус описанной около треугольника окружности

6

Теорема тангенсов: `{a+b}/{a-b}={tg({A+B}/2)}/{tg({A-B}/2)}`

7

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей строго внутри треугольника (центр тяжести). Точка пересечения делит медианы на отрезки, длины которых относятся как 2:1, считая от соответствующей вершины

8

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей строго внутри треугольника. Точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон треугольника (центр вписанной окружности)

9

Три перпендикуляра, проведенные к серединам сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности

10

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр)

11

Признаки подобия треугольников:
1) если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны,
2) если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны,
3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

12

Периметры подобных треугольников (и многоугольников) относятся, как длины соответствующих сторон, а площади относятся, как квадраты длин соответствующих сторон

13

Средняя линия треугольника (отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника) параллельна третьей стороне, и её длина равна половине длины третьей стороне

14

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам

15

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а высота, опущенная на основание, является также биссектрисой и медианой

16

Параллелограмм - четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

17

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны

18

У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны

19

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

20

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов

21

Параллелограмм можно вписать в окружность в том и только в том случае, если он является прямоугольником

22

В параллелограмм можно вписать окружность в том и только в том случае, если он является ромбом

23

Трапеция - выпуклый четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны (их называют основаниями) параллельны

24

В трапецию можно вписать окружность в том и только в том случае, если `a+b=c+d` (сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований)

25

Трапецию можно вписать в окружность в том и только в том случае, если она равнобокая (`c=d`)

26

Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины

27

Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине

28

Сумма углов выпуклого `n`-угольника (многоугольника с `n` сторонами) равна `180°(n-2)`

29

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы также равны между собой

30

Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность, и во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность

31

Центр вписанной в правильный многоугольник окружности совпадает с центром описанной около правильного многоугольника окружности; эта точка называется центром правильного многоугольника

32

Окружностью называется замкнутая кривая на плоскости, все точки которой одинаково удалены от данной точки той же плоскости

33

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой

34

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей

35

Круг - фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки

36

Под угловой величиной дуги понимают величину соответствующего центрального угла

37

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, заключающего ту же дугу, если вершина вписанного угла и центр окружности лежат по одну сторону от прямой, проходящей через концы этой дуги (`/_ACB=1/2/_AOB`, т.к. `O` и `C` по одну сторону от `AB`), и дополняет её до 180° в противном случае `/_ACB=180°-1/2/_AOB`

38

Угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключённой между касательной и хордой, т.е. `/_AMB=/_MCB=1/2/_BOM`

39

Угол, образованный двумя секущими, измеряется полуразностью дуг, заключённых между двумя его сторонами, т.е. `/_ACA_1=1/2(/_AOA_1-/_BOB_1)`

40

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной

41

Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними

42

Если хорды `AB` и `CD` пересекаются в точке `M`, то `AM*MB=CM*MD`

43

Если из точки `M` к окружности проведены две секущие `MAB` и `MCD`, то `MA*MB=MC*MD`

44

Если из точки `M` к окружности проведены секущая `MAB` и касательная `MC`, то `MA*MB=MC^2`